Precalcolo Esempi

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Semplifica

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ come

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.2

Qualsiasi radice di

$1$ è

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.3

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.4.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2

Ora, utilizza il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per

$x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

Risolvi per

$x$ in

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4

Semplifica

$π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

$π$ e

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta

$4$ alla sinistra di

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.4.3.2

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.5

Trova il periodo di

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.6

Il periodo della funzione

$\sin (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

Risolvi per

$x$ in

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è

$- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da

$2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a

$π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 6.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai

$2 π$ da

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 6.4.2

L'angolo risultante di

$\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di

$2 π$ e coterminale con

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 6.6

Somma

$2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Somma

$2 π$ a

$- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 6.6.2

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

$2 π$ e

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.1

Moltiplica

$4$ per

$2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 6.6.4.2

Sottrai

$π$ da

$8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.7

Il periodo della funzione

$\sin (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$