Precalcolo Esempi

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 1.1.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4

Frazioni separate.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8.2

Somma $1$ e $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Frazioni separate.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 11

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 12

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 13.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 14

Frazioni separate.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 15

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 16

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 17

Frazioni separate.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 18

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 19

Dividi $0$ per $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 20

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Passaggio 21

Fattorizza $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ .

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Passaggio 21.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 21.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Passaggio 21.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Passaggio 21.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Passaggio 22

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 23

Imposta $1 - \sec (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Imposta $1 - \sec (x)$ uguale a $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Passaggio 23.2

Risolvi $1 - \sec (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sec (x) = - 1$

Passaggio 23.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sec (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sec (x) = - 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 23.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 23.2.2.2.2

Dividi $\sec (x)$ per $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 23.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Passaggio 23.2.3

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (1)$

Passaggio 23.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 23.2.4.1

Il valore esatto di $arcsec (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 23.2.5

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 23.2.6

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 23.2.7

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 23.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 23.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 23.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 23.2.8

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 24

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 24.1

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 24.2

Risolvi $\tan (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 24.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 24.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 24.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 24.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 24.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 24.2.5.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 24.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 24.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 24.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 24.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 24.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 24.2.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 24.2.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 24.2.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 24.2.7.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 24.2.7.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 24.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 24.2.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.2.7.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 24.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 24.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 24.2.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 25

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 26

Combina $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ in $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$