Precalcolo Esempi

$\sin (x) + 3 \cos (x) = 2$

Passaggio 1

Utilizza l'identità per risolvere l'equazione. In questa identità, $θ$ rappresenta l'angolo creato tracciando il punto $(a, b)$ su un grafico e di conseguenza può essere trovato mediante $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ dove $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Passaggio 2

Imposta l'equazione per trovare il valore di $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{3}{1})$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $θ$ usando l'inverso della tangente.

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Passaggio 3.1

Dividi $3$ per $1$ .

$θ = \tan^{-1} (3)$

Passaggio 3.2

Calcola $\tan^{-1} (3)$ .

$θ = 1.24904577$

Passaggio 4

Risolvi per trovare il valore di $R$ .

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Passaggio 4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$R = \sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$R = \sqrt{1 + 9}$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $9$ .

$R = \sqrt{10}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$(\sqrt{10}) \sin (x + 1.24904577) = 2$

Passaggio 6

Dividi per $\sqrt{10}$ ciascun termine in $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $\sqrt{10}$ ciascun termine in $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ .

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\sin (x + 1.24904577)$ per $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Passaggio 6.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

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Passaggio 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Passaggio 6.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10}$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $10$ .

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Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{10}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 (\sqrt{10})}{10}$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x + 1.24904577 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.1

Calcola $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$ .

$x + 1.24904577 = 0.6847192$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Sottrai $1.24904577$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 0.6847192 - 1.24904577$

Passaggio 9.2

Sottrai $1.24904577$ da $0.6847192$ .

$x = - 0.56432656$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x + 1.24904577 = (3.14159265) - 0.6847192$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Sottrai $0.6847192$ da $3.14159265$ .

$x + 1.24904577 = 2.45687345$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $1.24904577$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2.45687345 - 1.24904577$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $1.24904577$ da $2.45687345$ .

$x = 1.20782767$

Passaggio 12

Trova il periodo di $\sin (x + 1.24904577)$ .

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Passaggio 12.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 13.1

Somma $2 π$ a $- 0.56432656$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.56432656 + 2 π$

Passaggio 13.2

Sottrai $0.56432656$ da $2 π$ .

$5.71885873$

Passaggio 13.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 5.71885873$

Passaggio 14

Il periodo della funzione $\sin (x + 1.24904577)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.20782767 + 2 π n, 5.71885873 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$