Precalcolo Esempi

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $- 2 \cos^{2} (x)$ con $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 1$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.3

Somma $1$ e $16$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.89590748$

Passaggio 11.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

Passaggio 11.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

Passaggio 11.4.2

L'angolo risultante di $2.24568517$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2.24568517$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$