Precalcolo Esempi

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x} - e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.5

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.6.2

$- 3$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.7

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.7.1

Sottrai $3 e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Passaggio 3.7.2

Somma $3 e^{- x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Passaggio 3.7.3

Sottrai $3 e^{x}$ da $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Passaggio 3.7.4

Somma $e^{- x}$ e $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Passaggio 3.8

Sposta $- 2 e^{x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Passaggio 3.9

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Passaggio 3.10

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.10.1

Riscrivi $\ln (4 e^{- x})$ come $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Passaggio 3.10.2

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Passaggio 3.10.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Passaggio 3.10.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Passaggio 3.11

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Riscrivi $\ln (2 e^{x})$ come $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Passaggio 3.11.2

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Passaggio 3.11.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Passaggio 3.11.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Passaggio 3.12

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Passaggio 3.13

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Passaggio 3.14

Dividi $4$ per $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Passaggio 3.15

Somma $x$ e $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Passaggio 3.16

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 x = \ln (2)$

Passaggio 3.17

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \ln (2)$ e semplifica.

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Passaggio 3.17.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \ln (2)$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 3.17.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.17.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 3.17.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimale:

$x = 0.34657359 \dots$