Precalcolo Esempi

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = 1$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $2$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x} - e^{- x} = 1 \cdot 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{x} - e^{- x} = 2$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 2$

Passaggio 3.2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u - u^{- 1} = 2$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 2$

Passaggio 3.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 3.4.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u - \frac{1}{u} = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica ogni termine in $u - \frac{1}{u} = 2$ per $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 2 u$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 2 u$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{u}$ nel numeratore.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 u$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 u$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} - 1 = 2 u$

Passaggio 3.4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sottrai $2 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 1 - 2 u = 0$

Passaggio 3.4.3.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4.3.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.5

Sostituisci $1 + \sqrt{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$1 + \sqrt{2} = e^{x}$

Passaggio 3.6

Risolvi $1 + \sqrt{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 1 + \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1 + \sqrt{2})$

Passaggio 3.6.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1 + \sqrt{2})$

Passaggio 3.6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1 + \sqrt{2})$

Passaggio 3.6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1 + \sqrt{2})$

Passaggio 3.7

Sostituisci $1 - \sqrt{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$1 - \sqrt{2} = e^{x}$

Passaggio 3.8

Risolvi $1 - \sqrt{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 1 - \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1 - \sqrt{2})$

Passaggio 3.8.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (1 - \sqrt{2})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.8.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = 1 - \sqrt{2}$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.9

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (1 + \sqrt{2})$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (1 + \sqrt{2})$

Forma decimale:

$x = 0.88137358 \dots$