Precalcolo Esempi

${(\frac{4}{5})}^{6 x + 1} = \frac{5}{4}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1}) = \ln (\frac{5}{4})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1})$ spostando $6 x + 1$ fuori dal logaritmo.

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (\frac{4}{5})$ come $\ln (4) - \ln (5)$ .

$(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5)) = \ln (\frac{5}{4})$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5))$ .

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Passaggio 3.1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Passaggio 3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + 1 \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\ln (\frac{4}{5})$ per $1$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) - \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Passaggio 5

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}) = 0$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{4}{5}$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}) = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{5 \cdot 5}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{25}) = 0$

Passaggio 7

Sottrai $\ln (\frac{16}{25})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$

Passaggio 8

Dividi per $6 \ln (\frac{4}{5})$ ciascun termine in $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $6 \ln (\frac{4}{5})$ ciascun termine in $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ .

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{4}{5})$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Passaggio 8.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Forma decimale:

$x = - 0.\overline{3}$