Precalcolo Esempi

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2^{2 x}$ per $2^{2 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Passaggio 2.2.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (2^{4 x})$ spostando $4 x$ fuori dal logaritmo.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Passaggio 3.1.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Passaggio 3.1.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Passaggio 3.1.3

Riordina i fattori in $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ e $c = - \ln (8)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.2

Sia $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ con $u$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $4$ da $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Scomponi $4$ da $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.6

Scomponi $4 \ln (2)$ da $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

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Passaggio 7.1.6.1

Scomponi $4 \ln (2)$ da $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.6.2

Scomponi $4 \ln (2)$ da $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.6.3

Scomponi $4 \ln (2)$ da $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.8

Riscrivi $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ come ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

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Passaggio 7.1.8.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Forma decimale:

$x = 1.5, - 0.5$