Precalcolo Esempi

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x - 5) = 0$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x) - - 5 = 0$

Passaggio 1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x - - 5 = 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il teorema binomiale.

${(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- 5$ per $12$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.8

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $25$ per $6$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.2.10

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x - 125 - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $2 x$ da $150 x$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 125 + 5 = 0$

Passaggio 2.4

Somma $- 125$ e $5$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

Passaggio 2.5

Riscrivi $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $4$ da $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Scomponi $4$ da $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $4$ da $- 60 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 148 x - 120 = 0$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $4$ da $148 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) - 120 = 0$

Passaggio 2.5.1.4

Scomponi $4$ da $- 120$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

Passaggio 2.5.1.5

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

Passaggio 2.5.1.6

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30) = 0$

Passaggio 2.5.1.7

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30)$ .

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30) = 0$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.5.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.5.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

Passaggio 2.5.2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.5.2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 8 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 15 \cdot 4 + 37 \cdot 2 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.5

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$16 - 60 + 37 \cdot 2 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.6

Sottrai $60$ da $16$ .

$- 44 + 37 \cdot 2 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.7

Moltiplica $37$ per $2$ .

$- 44 + 74 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.8

Somma $- 44$ e $74$ .

$30 - 30$

Passaggio 2.5.2.3.9

Sottrai $30$ da $30$ .

$0$

Passaggio 2.5.2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30}{x - 2}$

Passaggio 2.5.2.5

Dividi $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ per $x - 2$ .

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Passaggio 2.5.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$37 x$

$30$

Passaggio 2.5.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$

Passaggio 2.5.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

Passaggio 2.5.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 11 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

Passaggio 2.5.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Passaggio 2.5.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 11 x^{2} + 22 x$

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Passaggio 2.5.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$

Passaggio 2.5.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.5.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.5.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.5.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 x - 30$

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 2.5.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

Passaggio 2.5.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 11 x + 15$

Passaggio 2.5.2.6

Scrivi $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e la cui somma è $b = - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

Passaggio 2.5.3.1.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 5$ più $- 6$ .

$4 ((x - 2) (2 x^{2} + (- 5 - 6) x + 15)) = 0$

Passaggio 2.5.3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15)) = 0$

Passaggio 2.5.3.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 ((x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) - 6 x + 15)) = 0$

Passaggio 2.5.3.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 ((x - 2) (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5))) = 0$

Passaggio 2.5.3.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 5$ .

$4 ((x - 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Passaggio 2.5.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 ((x - 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 x - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

Forma decimale:

$x = 2, 2.5, 3$

Forma numero misto:

$x = 2, 2 \frac{1}{2}, 3$