Precalcolo Esempi

${(8 x)}^{- 3} = 64$

Passaggio 1

Semplifica ${(8 x)}^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x)}^{3}} = 64$

Passaggio 1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola del prodotto a $8 x$ .

$\frac{1}{8^{3} x^{3}} = 64$

Passaggio 1.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} = 64$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$512 x^{3}, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$512 x^{3}$

Passaggio 3

Moltiplica per $512 x^{3}$ ciascun termine in $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ per $512 x^{3}$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} (512 x^{3}) = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $512$ da $512 x^{3}$ .

$512 \frac{1}{512 (x^{3})} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 64 (512 x^{3})$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $512$ per $64$ .

$1 = 32768 x^{3}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $32768 x^{3} = 1$ .

$32768 x^{3} = 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$32768 x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi $32768 x^{3}$ come ${(32 x)}^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 32 x$ e $b = 1$ .

$(32 x - 1) ({(32 x)}^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $32 x$ .

$(32 x - 1) (32^{2} x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.4.3

Moltiplica $32$ per $1$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$32 x - 1 = 0$

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $32 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $32 x - 1$ uguale a $0$ .

$32 x - 1 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $32 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$32 x = 1$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x = 1$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

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Passaggio 4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Passaggio 4.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{32}$

Passaggio 4.6

Imposta $1024 x^{2} + 32 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $1024 x^{2} + 32 x + 1$ uguale a $0$ .

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1024$ , $b = 32$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (1024 \cdot 1)}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1024 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1024 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4096$ per $1$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.3

Sottrai $4096$ da $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 3072}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 3072$ come $- 1 (3072)$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3072}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3072)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.7

Riscrivi $3072$ come $32^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $1024$ da $3072$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{1024 (3)}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $1024$ come $32^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{32^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot (32 \sqrt{3})}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.1.9

Sposta $32$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1024}$

Passaggio 4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$

Passaggio 4.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{64}$

Passaggio 4.6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{32}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$