Precalcolo Esempi

$\sin (2 t) = \sqrt{2} \cos (t)$

Passaggio 1

Sottrai $\sqrt{2} \cos (t)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Passaggio 2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\cos (t)$ da $2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\cos (t)$ da $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\cos (t)$ da $- \sqrt{2} \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\cos (t)$ da $\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2})$ .

$\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (t) = 0$

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (t)$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos (t)$ uguale a $0$ .

$\cos (t) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (t) = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ uguale a $0$ .

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $\sqrt{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (t)$ per $1$ .

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$t = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\sin (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$ vera.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$t = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$