Precalcolo Esempi

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 1

Sostituisci $\csc^{2} (u)$ con $\cot^{2} (u) + 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.2

Rimetti in ordine i termini.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1.1

Riscrivi $\csc (u)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.4

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1.4.1

Aggiungi le parentesi.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.4.2

Riordina $\cos (u)$ e $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.4.3

Riscrivi $- \cos (u) \sec (u)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.4.4

Elimina i fattori comuni.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.2.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ come ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.4.2.3

Converti da $\frac{1}{\sin (u)}$ a $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Passaggio 4

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Passaggio 5

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Passaggio 5.2

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Passaggio 5.3

Risolvi $\cot (u) = \cot (u)$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Perché le due funzioni siano uguali, gli argomenti di ciascuna devono essere uguali.

$u = u$

Passaggio 5.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $u$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u - u = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $u$ da $u$ .

$0 = 0$

Passaggio 5.3.3

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Tutti i numeri reali

Passaggio 5.4

Risolvi $\cot (u) = - \cot (u)$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $\cot (u)$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Somma $\cot (u)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Passaggio 5.4.1.2

Somma $\cot (u)$ e $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cot (u) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cot (u) = 0$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $\cot (u)$ per $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cot (u) = 0$

Passaggio 5.4.3

Trova il valore dell'incognita $u$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$u = arccot (0)$

Passaggio 5.4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4.5

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$u = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4.6

Semplifica $π + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 5.4.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 5.4.6.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.4.7

Trova il periodo di $\cot (u)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.4.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.4.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.4.7.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.4.8

Il periodo della funzione $\cot (u)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$