Precalcolo Esempi

\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = v

$a = v$ e

b = 1

$b = 1$ .

\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Poiché

2

$2$ non presenta fattori eccetto

1

$1$ e

2

$2$ .

2

$2$ è un numero primo

Passaggio 2.4

Il numero

1

$1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

4

$4$ presenta fattori di

2

$2$ e

2

$2$ .

2 \cdot 2

$2 \cdot 2$

Passaggio 2.6

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

4

$4$

Passaggio 2.7

Il fattore di

v - 1

$v - 1$ è

v - 1

$v - 1$ stesso.

(v - 1) = v - 1

$(v - 1) = v - 1$

(v - 1)

$(v - 1)$ si verifica

1

$1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di

v + 1

$v + 1$ è

v + 1

$v + 1$ stesso.

(v + 1) = v + 1

$(v + 1) = v + 1$

(v + 1)

$(v + 1)$ si verifica

1

$1$ volta.

Passaggio 2.9

Il fattore di

v - 1

$v - 1$ è

v - 1

$v - 1$ stesso.

(v - 1) = v - 1

$(v - 1) = v - 1$

(v - 1)

$(v - 1)$ si verifica

1

$1$ volta.

Passaggio 2.10

Il minimo comune multiplo di

v - 1, v + 1, v - 1

$v - 1, v + 1, v - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

(v - 1) (v + 1)

$(v - 1) (v + 1)$

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo

LCM

$LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

4 (v - 1) (v + 1)

$4 (v - 1) (v + 1)$

4 (v - 1) (v + 1)

$4 (v - 1) (v + 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per

4 (v - 1) (v + 1)

$4 (v - 1) (v + 1)$ ciascun termine in

\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in

\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ per

4 (v - 1) (v + 1)

$4 (v - 1) (v + 1)$ .

\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi

2

$2$ da

4

$4$ .

2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.3

$2$ e

$\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di

$v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica

$4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

$4$ e

$\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.8.2

Moltiplica

$4$ per

$3$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.9

Elimina il fattore comune di

$(v - 1) (v + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Scomponi

$(v - 1) (v + 1)$ da

$(v + 1) (v - 1)$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.2

Somma

$2$ e

$12$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi

$4$ da

$4 (v - 1) (v + 1)$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

Passaggio 3.3.2

Espandi

$(v - 1) (v + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

Passaggio 3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

Passaggio 3.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in

$v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di

$v \cdot 1$ e

$- 1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sottrai

$1 v$ da

$1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.1.3

Somma

$v \cdot v$ e

$0$ .

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica

$v$ per

$v$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai

$v^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

Passaggio 4.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

Passaggio 4.3

Somma

$14$ e

$1$ .

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi

$- 1$ da

$2 v - v^{2} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Riordina

$2 v$ e

$- v^{2}$ .

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi

$- 1$ da

$- v^{2}$ .

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi

$- 1$ da

$2 v$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.4

Riscrivi

$15$ come

$- 1 (- 15)$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.5

Scomponi

$- 1$ da

$- (v^{2}) - (- 2 v)$ .

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.6

Scomponi

$- 1$ da

$- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ .

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Scomponi

$v^{2} - 2 v - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$- 15$ e la cui somma è

$- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 4.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta

$v - 5$ uguale a

$0$ e risolvi per

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta

$v - 5$ uguale a

$0$ .

$v - 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma

$5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$v = 5$

Passaggio 4.7

Imposta

$v + 3$ uguale a

$0$ e risolvi per

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta

$v + 3$ uguale a

$0$ .

$v + 3 = 0$

Passaggio 4.7.2

Sottrai

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v = - 3$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$- (v - 5) (v + 3) = 0$ vera.

$v = 5, - 3$