Precalcolo Esempi

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = v$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$

Passaggio 2.7

Il fattore di $v - 1$ è $v - 1$ stesso.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $v + 1$ è $v + 1$ stesso.

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il fattore di $v - 1$ è $v - 1$ stesso.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.10

Il minimo comune multiplo di $v - 1, v + 1, v - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(v - 1) (v + 1)$

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$4 (v - 1) (v + 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $4 (v - 1) (v + 1)$ ciascun termine in $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ per $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.3

$2$ e $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

$4$ e $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.9

Elimina il fattore comune di $(v - 1) (v + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Scomponi $(v - 1) (v + 1)$ da $(v + 1) (v - 1)$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.2.2

Somma $2$ e $12$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

Passaggio 3.3.2

Espandi $(v - 1) (v + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

Passaggio 3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

Passaggio 3.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $v \cdot 1$ e $- 1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sottrai $1 v$ da $1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.1.3

Somma $v \cdot v$ e $0$ .

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $v^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

Passaggio 4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $14$ e $1$ .

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $- 1$ da $2 v - v^{2} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Riordina $2 v$ e $- v^{2}$ .

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- v^{2}$ .

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi $- 1$ da $2 v$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.4

Riscrivi $15$ come $- 1 (- 15)$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (v^{2}) - (- 2 v)$ .

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 4.4.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ .

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $v^{2} - 2 v - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 4.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $v - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $v - 5$ uguale a $0$ .

$v - 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$v = 5$

Passaggio 4.7

Imposta $v + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $v + 3$ uguale a $0$ .

$v + 3 = 0$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$v = - 3$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (v - 5) (v + 3) = 0$ vera.

$v = 5, - 3$