Precalcolo Esempi

$\csc (t) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

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Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (t) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\csc (t) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $t$ dalla cosecante.

$t = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1

Il valore esatto di $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$t = \frac{π}{3}$

Passaggio 4

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$t = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$t = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$t = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$t = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\csc (t)$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\csc (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$