Precalcolo Esempi

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (θ)}$ per $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.3.3

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $\cot (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.5.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.5.3

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Passaggio 1.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 4

Moltiplica $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\sin (θ)$ e $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 4.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 4.3

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $\sin (θ)$ da $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Passaggio 7

Moltiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Passaggio 7.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Passaggio 7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Passaggio 7.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Passaggio 8

Sottrai $\sin^{2} (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 9

Semplifica $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 9.3

Scomponi $- 1$ da $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 9.4

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 9.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 9.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Converti da $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ a $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Passaggio 10

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Passaggio 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 10.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Passaggio 10.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (θ) = 1$

Passaggio 10.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (θ) = - 1$

Passaggio 10.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Passaggio 10.5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Passaggio 10.6

Risolvi per $θ$ in $\tan (θ) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (1)$

Passaggio 10.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Passaggio 10.6.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 10.6.4

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 10.6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 10.6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 10.6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 10.6.4.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 10.6.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 10.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 10.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 10.6.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 10.6.6

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.7

Risolvi per $θ$ in $\tan (θ) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (- 1)$

Passaggio 10.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Passaggio 10.7.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 10.7.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 10.7.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 10.7.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 10.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 10.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 10.7.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 10.7.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 10.7.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 10.7.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.6.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 10.7.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 10.7.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.6.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 10.7.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 10.7.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 10.7.7

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.8

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.9

Consolida le risposte.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$