Precalcolo Esempi

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $25^{x}$ come ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${(5^{2})}^{x}$ come ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Passaggio 1.3

Sia $u = 5^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $5^{x}$ con $u$ .

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $u^{2} - 12 u + 11$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $11$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 11, - 1$

Passaggio 1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 11) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5^{x}$ .

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $5^{x} - 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $5^{x} - 11$ uguale a $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $5^{x} - 11 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $11$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5^{x} = 11$

Passaggio 3.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

Passaggio 3.2.3

Espandi $\ln (5^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (11)$

Passaggio 3.2.4

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = \ln (11)$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.4.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = \ln (11)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Passaggio 4

Imposta $5^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $5^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$5^{x} - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $5^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5^{x} = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (5^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x \ln (5) = 0$

Passaggio 4.2.5

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.5.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $x \ln (5) = 0$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.5.3.1

Dividi $0$ per $\ln (5)$ .

$x = 0$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Forma decimale:

$x = 1.48989610 \dots, 0$