Precalcolo Esempi

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti $X$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $X$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

Passaggio 1.2

Sottrai $X$ da $8 X$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

Passaggio 2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

Passaggio 3

Sottrai $2$ da $4$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

Passaggio 4

Scomponi $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 4.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 4.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 4.3.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $9$ per $4$ .

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 24$ e $36$ .

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$12 - 14 + 2$

Passaggio 4.3.8

Sottrai $14$ da $12$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 4.3.9

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 4.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $X + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

Passaggio 4.5

Dividi $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ per $X + 2$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

Passaggio 4.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 X^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $X$ .

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

Passaggio 4.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 X^{3} + 6 X^{2}$

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

Passaggio 4.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

Passaggio 4.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Passaggio 4.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 X^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Passaggio 4.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

Passaggio 4.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 X^{2} + 6 X$

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

Passaggio 4.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

Passaggio 4.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Passaggio 4.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $X$ per il termine di ordine più alto nel divisore $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Passaggio 4.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

Passaggio 4.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $X + 2$

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

Passaggio 4.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

Passaggio 4.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

Passaggio 4.6

Scrivi $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ come insieme di fattori.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $X + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $X$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $X + 2$ uguale a $0$ .

$X + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$X = - 2$

Passaggio 7

Imposta $3 X^{2} + 3 X + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $X$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $3 X^{2} + 3 X + 1$ uguale a $0$ .

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ per $X$ .

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Passaggio 7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 3$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $X$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

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Passaggio 7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Passaggio 7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.1.3

Sottrai $12$ da $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ vera.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$