Precalcolo Esempi

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $2^{2 x}$ come ${(2^{x})}^{2}$ .

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = 2^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $2^{x}$ con $u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 11$ come $1$ più $- 12$ .

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2^{x}$ .

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

Passaggio 3

Imposta $3 \cdot 2^{x} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $3 \cdot 2^{x} + 1$ uguale a $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

Passaggio 3.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

Passaggio 3.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 1)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.2.4

Non c'è soluzione per $3 \cdot 2^{x} = - 1$

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Imposta $2^{x} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2^{x} - 4$ uguale a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2^{x} - 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{x} = 4$

Passaggio 4.2.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{2}$

Passaggio 4.2.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 2$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ vera.

$x = 2$