Precalcolo Esempi

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Passaggio 2

Semplifica $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Passaggio 2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Passaggio 2.2

Espandi $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $18$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $18$ per $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Passaggio 2.3.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Passaggio 2.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $14 x^{2}$ da $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Passaggio 3

Sottrai $240$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Passaggio 4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $2$ da $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $2$ da $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Passaggio 4.1.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Passaggio 4.1.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi.

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.3.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 4.3.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Passaggio 4.3.1.3

Sostituisci $8$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $8$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Sostituisci $8$ nel polinomio.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.5

Moltiplica $2$ per $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.6

Somma $- 512$ e $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.7

Moltiplica $63$ per $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.8

Somma $- 384$ e $504$ .

$120 - 120$

Passaggio 4.3.1.3.9

Sottrai $120$ da $120$ .

$0$

Passaggio 4.3.1.4

Poiché $8$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 8$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Passaggio 4.3.1.5

Dividi $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ per $x - 8$ .

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Passaggio 4.3.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Passaggio 4.3.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Passaggio 4.3.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Passaggio 4.3.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + 8 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Passaggio 4.3.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 4.3.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Passaggio 4.3.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Passaggio 4.3.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Passaggio 4.3.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} + 48 x$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Passaggio 4.3.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Passaggio 4.3.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Passaggio 4.3.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Passaggio 4.3.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Passaggio 4.3.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 x - 120$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Passaggio 4.3.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Passaggio 4.3.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Passaggio 4.3.1.6

Scrivi $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ come insieme di fattori.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Passaggio 4.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 7

Imposta $- x^{2} - 6 x + 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- x^{2} - 6 x + 15$ uguale a $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = - 6$ e $c = 15$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.1.3

Somma $36$ e $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.1.4

Riscrivi $96$ come $4^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.4.1

Scomponi $16$ da $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Passaggio 7.2.3.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Passaggio 7.2.3.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Passaggio 7.2.3.5

Riscrivi $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ come $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ vera.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Forma decimale:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$