Precalcolo Esempi

$20 y^{- 2} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Passaggio 1.2

$20$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{20}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{y^{2}} - 20 \frac{1}{y} + 32 = 0$

Passaggio 1.4

$- 20$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{20}{y^{2}} + \frac{- 20}{y} + 32 = 0$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y^{2}, y, 1, 1$

Passaggio 2.2

Since $y^{2}, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}, y^{1}$ .

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

I fattori di $y^{2}$ sono $y \cdot y$ , che corrisponde a $y$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{2}, y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot y$

Passaggio 2.9

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica per $y^{2}$ ciascun termine in $\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ per $y^{2}$ .

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$20 - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{20}{y}$ nel numeratore.

$20 + \frac{- 20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $0$ per $y^{2}$ .

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $4$ da $20 - 20 y + 32 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$4 (5) - 20 y + 32 y^{2} = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $4$ da $- 20 y$ .

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 32 y^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $4$ da $32 y^{2}$ .

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $4$ da $4 (5) + 4 (- 5 y)$ .

$4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $4$ da $4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2})$ .

$4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$

Passaggio 4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ .

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $5 - 5 y + 8 y^{2}$ per $1$ .

$5 - 5 y + 8 y^{2} = \frac{0}{4}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$5 - 5 y + 8 y^{2} = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = 8$ , $b = - 5$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 5)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 8 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $5$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 160}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.3

Sottrai $160$ da $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 135}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $- 135$ come $- 1 (135)$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 135}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (135)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.7

Riscrivi $135$ come $3^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.7.1

Scomponi $9$ da $135$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (15)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{15})}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{16}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{5 + 3 i \sqrt{15}}{16}, \frac{5 - 3 i \sqrt{15}}{16}$