Precalcolo Esempi

$\ln (- 2 y + 5) - \ln (y + 4) = \ln (- 11 y - 2)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- 2 y + 5}{y + 4}) = \ln (- 11 y - 2)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 4, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$y + 4, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y + 4$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y + 4$ ciascun termine in $\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{- 2 y + 5}{y + 4} = - 11 y - 2$ per $y + 4$ .

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} (y + 4) = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y + 5}{y + 4} (y + 4) = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 y + 5 = - 11 y (y + 4) - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 y + 5 = - 11 y \cdot y - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 (y \cdot y) - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 11 y \cdot 4 - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 11$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 (y + 4)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 y - 2 \cdot 4$

Passaggio 3.2.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 44 y - 2 y - 8$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $2 y$ da $- 44 y$ .

$- 2 y + 5 = - 11 y^{2} - 46 y - 8$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 11 y^{2} - 46 y - 8 = - 2 y + 5$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 11 y^{2} - 46 y - 8 + 2 y = 5$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 46 y$ e $2 y$ .

$- 11 y^{2} - 44 y - 8 = 5$

Passaggio 3.3.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 11 y^{2} - 44 y - 8 - 5 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $5$ da $- 8$ .

$- 11 y^{2} - 44 y - 13 = 0$

Passaggio 3.3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.5

Sostituisci i valori $a = - 11$ , $b = - 44$ e $c = - 13$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 13)}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.6.1.1

Eleva $- 44$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot - 11 \cdot - 13}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 11 \cdot - 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 11$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 + 44 \cdot - 13}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.1.2.2

Moltiplica $44$ per $- 13$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 572}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.1.3

Sottrai $572$ da $1936$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{1364}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.1.4

Riscrivi $1364$ come $2^{2} \cdot 341$ .

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Passaggio 3.3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $1364$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{4 (341)}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 341}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{2 \cdot - 11}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 11$ .

$y = \frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{- 22}$

Passaggio 3.3.6.3

Semplifica $\frac{44 \pm 2 \sqrt{341}}{- 22}$ .

$y = \frac{22 \pm \sqrt{341}}{- 11}$

Passaggio 3.3.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{22 \pm \sqrt{341}}{11}$

Passaggio 3.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{22 + \sqrt{341}}{11}, - \frac{22 - \sqrt{341}}{11}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - \frac{22 + \sqrt{341}}{11}, - \frac{22 - \sqrt{341}}{11}$

Forma decimale:

$y = - 3.67874411 \dots, - 0.32125588 \dots$