Precalcolo Esempi

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$ .

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Passaggio 1.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\tan^{2} (y) + 1}$

Passaggio 1.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\cos (2 y) = \frac{1^{2} - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \tan (y)$ .

$\cos (2 y) = \frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)}$

Passaggio 2

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} = \cos (2 y)$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $\cos (2 y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $\tan (y)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $\tan (y)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $\sec (y)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{{(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.4

Espandi $(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.2

Moltiplica $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.3

Moltiplica $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5

Moltiplica $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

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Passaggio 3.2.5.1.5.1

Moltiplica $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ per $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.2

Eleva $\sin (y)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.3

Eleva $\sin (y)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.6

Eleva $\cos (y)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.7

Eleva $\cos (y)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{{\cos (y)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.1.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ e $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.5.3

Somma $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $\cos^{2} (y)$ per $1$ .

$\cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.8

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (y)$ .

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Passaggio 3.2.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}$ nel numeratore.

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.2.9

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 y) - \cos (2 y) = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $\cos (2 y)$ da $\cos (2 y)$ .

$0 = 0$

Passaggio 4

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera per ciascun valore di $y$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Tutti i numeri reali

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$