Precalcolo Esempi

$6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = w^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

$u = w^{2}$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot 12 = 72$ e la cui somma è $b = - 17$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 17$ da $- 17 u$ .

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 17$ come $- 8$ più $- 9$ .

$6 u^{2} + (- 8 - 9) u + 12 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 u^{2} - 8 u - 9 u + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(6 u^{2} - 8 u) - 9 u + 12 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 u (3 u - 4) - 3 (3 u - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u - 4$ .

$(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 u - 4 = 0$

$2 u - 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta $3 u - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $3 u - 4$ uguale a $0$ .

$3 u - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 u - 4 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 u = 4$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u = 4$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Imposta $2 u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $2 u - 3$ uguale a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 u - 3 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 3$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 3$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$ vera.

$u = \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = w^{2}$ nell'equazione risolta.

$w^{2} = \frac{4}{3}$

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $w$ .

$w^{2} = \frac{4}{3}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $w$ .

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Passaggio 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 9.2.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 9.2.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 9.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.2.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 9.2.4.6.5

Calcola l'esponente.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$w = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $w$ .

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $w$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$w^{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 11.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 11.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 11.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$w = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 11.3.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$w = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 12

La soluzione di $6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$ è $w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Forma decimale:

$w = 1.15470053 \dots, - 1.15470053 \dots, 1.22474487 \dots, - 1.22474487 \dots$