Precalcolo Esempi

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$r - 5, r + 5, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $r - 5$ è $r - 5$ stesso.

$(r - 5) = r - 5$

$(r - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $r + 5$ è $r + 5$ stesso.

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $r - 5, r + 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(r - 5) (r + 5)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(r - 5) (r + 5)$ ciascun termine in $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ per $(r - 5) (r + 5)$ .

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $r - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$10 (r + 5) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 r + 10 \cdot 5 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $10$ per $5$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $r + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Scomponi $r + 5$ da $(r - 5) (r + 5)$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$10 r + 50 + 10 (r - 5) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$10 r + 50 + 10 r + 10 \cdot - 5 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $10$ per $- 5$ .

$10 r + 50 + 10 r - 50 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Combina i termini opposti in $10 r + 50 + 10 r - 50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Sottrai $50$ da $50$ .

$10 r + 10 r + 0 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.2.1.2

Somma $10 r + 10 r$ e $0$ .

$10 r + 10 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $10 r$ e $10 r$ .

$20 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Espandi $(r - 5) (r + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$20 r = 3 (r (r + 5) - 5 (r + 5))$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 (r + 5))$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Combina i termini opposti in $r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $r \cdot 5$ e $- 5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 5 r - 5 r - 5 \cdot 5)$

Passaggio 2.3.2.1.2

Sottrai $5 r$ da $5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 0 - 5 \cdot 5)$

Passaggio 2.3.2.1.3

Somma $r \cdot r$ e $0$ .

$20 r = 3 (r \cdot r - 5 \cdot 5)$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica $r$ per $r$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 5 \cdot 5)$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 25)$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$20 r = 3 r^{2} + 3 \cdot - 25$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $- 25$ .

$20 r = 3 r^{2} - 75$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $3 r^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$20 r - 3 r^{2} = - 75$

Passaggio 3.2

Somma $75$ a entrambi i lati dell'equazione.

$20 r - 3 r^{2} + 75 = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 3$ , $b = 20$ e $c = 75$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 75)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 3 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot 75$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 12 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $12$ per $75$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 900}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.3

Somma $400$ e $900$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $1300$ come $10^{2} \cdot 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.4.1

Scomponi $100$ da $1300$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$ .

$r = \frac{10 \pm 5 \sqrt{13}}{3}$

Passaggio 3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Forma decimale:

$r = 9.34258545 \dots, - 2.67591879 \dots$