Precalcolo Esempi

$\ln (x) + \ln (x + 2) = \ln (15)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = \ln (15)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = \ln (15)$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = \ln (15)$

Passaggio 1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = \ln (15)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} + 2 x = 15$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2} + 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 3, - 5$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) + \ln (x + 2) = \ln (15)$ vera.

$x = 3$