Precalcolo Esempi

$\log (x) + \log (x + 6) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 6)) = 1$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 6) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 6) = 1$

Passaggio 1.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$\log (x^{2} + 6 x) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (x^{2} + 6 x) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 6 x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 6 x = 10^{1}$ .

$x^{2} + 6 x = 10$

Passaggio 3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 6 x - 10 = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - 10$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 40}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Somma $36$ e $40$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

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Passaggio 3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{19}$

Passaggio 3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 3 + \sqrt{19}, - 3 - \sqrt{19}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x) + \log (x + 6) = 1$ vera.

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Forma decimale:

$x = 1.35889894 \dots$