Precalcolo Esempi

$\log (2 x - 1) + \log (x + 4) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 1) (x + 4)) = 1$

Passaggio 1.2

Espandi $(2 x - 1) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (2 x (x + 4) - 1 (x + 4)) = 1$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4)) = 1$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Passaggio 1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - x - 1 \cdot 4) = 1$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - x - 4) = 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $x$ da $8 x$ .

$\log (2 x^{2} + 7 x - 4) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (2 x^{2} + 7 x - 4) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} + 7 x - 4$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2} + 7 x - 4 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 10$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 7 x - 4 - 10 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $10$ da $- 4$ .

$2 x^{2} + 7 x - 14 = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 7$ e $c = - 14$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 14)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 14$ .

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Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.3

Somma $49$ e $112$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{4}$

Passaggio 3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{161}}{4}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (2 x - 1) + \log (x + 4) = 1$ vera.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Forma decimale:

$x = 1.42214438 \dots$