Precalcolo Esempi

$\log (x) = 1 - \log (x - 3)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log (x) + \log (x - 3) = 1$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 3)) = 1$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3) = 1$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3) = 1$

Passaggio 4.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\log (x^{2} - 3 x) = 1$

Passaggio 5

Riscrivi $\log (x^{2} - 3 x) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} - 3 x$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 3 x = 10^{1}$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Passaggio 6.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $x^{2} - 3 x - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 5, 2$

Passaggio 6.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Passaggio 6.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 6.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 5, - 2$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x) = 1 - \log (x - 3)$ vera.

$x = 5$