Precalcolo Esempi

$\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 3) (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 3) (2 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\log (2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (2 x^{2} + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$\log (2 x^{2} - 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 5 x$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Il logaritmo in base $3$ di $1$ è $0$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 6^{\log_{6} (2)}$

Passaggio 2.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 2$

Passaggio 2.2

Somma $0$ e $2$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$

Passaggio 3

Riscrivi $\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 11 x + 15$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 100$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 11 x + 15 - 100 = 0$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $100$ da $15$ .

$2 x^{2} - 11 x - 85 = 0$

Passaggio 4.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 11$ e $c = - 85$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 85)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

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Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1.1

Eleva $- 11$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 85$ .

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Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 85$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 680}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.3

Somma $121$ e $680$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{801}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4

Riscrivi $801$ come $3^{2} \cdot 89$ .

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Passaggio 4.6.1.4.1

Scomponi $9$ da $801$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{9 (89)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 89}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}, \frac{11 - 3 \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$ vera.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Forma decimale:

$x = 9.82548584 \dots$