Precalcolo Esempi

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ per $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Passaggio 6

Riscrivi $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Passaggio 7

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Passaggio 8

Semplifica $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Espandi $(x + 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Passaggio 8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Passaggio 8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 8.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 8.2.1.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Passaggio 8.2.3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $10$ per $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $10 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Passaggio 9.2

Sottrai $10 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Passaggio 10.2

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Passaggio 10.3

Riordina $- {(3 x)}^{2}$ e $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Passaggio 10.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Passaggio 10.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Passaggio 11

Semplifica $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Espandi $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Passaggio 11.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Passaggio 11.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Passaggio 11.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Combina i termini opposti in $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $4 (- 3 x)$ e $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Passaggio 11.2.1.2

Somma $- 3 \cdot 4 x$ e $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Passaggio 11.2.1.3

Somma $4 \cdot 4$ e $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Passaggio 11.2.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.1

Sposta $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Passaggio 11.2.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Passaggio 12

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Passaggio 12.2

Sottrai $16$ da $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Passaggio 13

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 x^{2} = - 176$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 x^{2} = - 176$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Passaggio 13.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Passaggio 13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Passaggio 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Passaggio 15

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{176}{9}}$ come $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Riscrivi $176$ come $4^{2} \cdot 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Scomponi $16$ da $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 15.2.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 15.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 15.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 15.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Passaggio 16

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Passaggio 16.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Passaggio 16.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Passaggio 17

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ vera.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Forma decimale:

$x = 4.42216638 \dots$