Precalcolo Esempi

$\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 3) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (x - 2) - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} - 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\ln (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 2 x$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} - 5 x + 6 = 2 x + 24$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 5 x + 6 - 2 x = 24$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 x$ da $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 24$

Passaggio 3.2

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 7 x + 6 - 24 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $24$ da $6$ .

$x^{2} - 7 x - 18 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} - 7 x - 18$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 9, 2$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 9) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 9, - 2$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$ vera.

$x = 9$