Precalcolo Esempi

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x + 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$1, x + 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x + 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $x + 1$ ciascun termine in $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ per $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Passaggio 3.3.1.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.3.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ vera.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 2.41421356 \dots$