Precalcolo Esempi

ln (2 x + 5) + ln (x - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi,

{log}_{b} (x) + {log}_{b} (y) = {log}_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 ln (x) = 0

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Espandi

(2 x + 5) (x - 7)

$(2 x + 5) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Sposta

x

$x$ .

ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

2

$2$ .

ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Moltiplica

5

$5$ per

- 7

$- 7$ .

ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Somma

- 14 x

$- 14 x$ e

5 x

$5 x$ .

ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica

ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 ln (x)

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica

- 2 ln (x)

$- 2 \ln (x)$ spostando

2

$2$ all'interno del logaritmo.

ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - ln (x^{2}) = 0

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per un polinomio della forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70

$a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ e la cui somma è

b = - 9

$b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Scomponi

- 9

$- 9$ da

- 9 x

$- 9 x$ .

ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi

- 9

$- 9$ come

5

$5$ più

- 14

$- 14$ .

ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

2 x + 5

$2 x + 5$ .

ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi

ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

x

$x$ e

b

$b$ sono numeri reali positivi e

b

$b$

\neq

$\neq$

1

$1$ , allora

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Passaggio 5

Semplifica

e^{0} (x^{2})

$e^{0} (x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica

x^{2}

$x^{2}$ per

1

$1$ .

(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti

x

$x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai

x^{2}

$x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Espandi

(2 x + 5) (x - 7)

$(2 x + 5) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Sposta

x

$x$ .

2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

2

$2$ .

2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica

5

$5$ per

- 7

$- 7$ .

2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Somma

- 14 x

$- 14 x$ e

5 x

$5 x$ .

2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Sottrai

x^{2}

$x^{2}$ da

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

x^{2} - 9 x - 35 = 0

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

x^{2} - 9 x - 35 = 0

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Passaggio 7

Somma

35

$35$ a entrambi i lati dell'equazione.

x^{2} - 9 x = 35

$x^{2} - 9 x = 35$

Passaggio 8

Sottrai

35

$35$ da entrambi i lati dell'equazione.

x^{2} - 9 x - 35 = 0

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Passaggio 9

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 10

Sostituisci i valori

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 9

$b = - 9$ e

c = - 35

$c = - 35$ nella formula quadratica e risolvi per

x

$x$ .

\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Eleva

- 9

$- 9$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot - 35

$- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

- 35

$- 35$ .

x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.3

Somma

81

$81$ e

140

$140$ .

x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Passaggio 12

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Passaggio 13

Escludi le soluzioni che non rendono

ln (2 x + 5) + ln (x - 7) - 2 ln (x) = 0

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ vera.

x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Forma decimale:

x = 11.93303437 \dots

$x = 11.93303437 \dots$