Precalcolo Esempi

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Espandi $(2 x + 5) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Moltiplica $5$ per $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $- 14 x$ e $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ e la cui somma è $b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi $- 9$ come $5$ più $- 14$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Passaggio 5

Semplifica $e^{0} (x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Espandi $(2 x + 5) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $5$ per $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 14 x$ e $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Passaggio 7

Somma $35$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 9 x = 35$

Passaggio 8

Sottrai $35$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Passaggio 9

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 10

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 9$ e $c = - 35$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.3

Somma $81$ e $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Passaggio 12

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Passaggio 13

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ vera.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Forma decimale:

$x = 11.93303437 \dots$