Precalcolo Esempi

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 5$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) = 5$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) = 5$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) = 5$

Passaggio 1.3.2

Sposta $10$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) = 5$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{5}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (x^{2} + 10 x) = 5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5} = x^{2} + 10 x$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 10 x = e^{5}$ .

$x^{2} + 10 x = e^{5}$

Passaggio 4.2

Sottrai $e^{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 10 x - e^{5} = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 10$ e $c = - e^{5}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{5}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Riscrivi $100 + 4 e^{5}$ come $2^{2} (25 + e^{5})$ .

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Passaggio 4.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 e^{5}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (e^{5})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{5}}}{2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{5}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{5}}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{5}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{5}}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) + \ln (x + 10) = 5$ vera.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{5}}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{5}}$

Forma decimale:

$x = 8.16864302 \dots$