Precalcolo Esempi

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{6}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{6}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{6}{x - 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{6}{x}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) x$ .

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $6$ da $6 x - 6 (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5.1.2

Scomponi $6$ da $- 6 (x - 1)$ .

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5.1.3

Scomponi $6$ da $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ .

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.5.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $x (x - 1)$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $x (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 = 1 (x (x - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $1 (x (x - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Moltiplica $x (x - 1)$ per $1$ .

$6 = x (x - 1)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$6 = x^{2} - x$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - x = 6$ .

$x^{2} - x = 6$

Passaggio 4.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 3, - 2$

Passaggio 5

Trova il dominio di $\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{6}{x (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (x - 1) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 5.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro di $0.3$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di $- 24$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.4

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 7.4.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

Passaggio 7.4.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

Passaggio 7.5.3

Il lato sinistro di $0.2$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 2 \leq x < 0$ o $1 < x \leq 3$

Passaggio 9

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

Passaggio 10