Precalcolo Esempi

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = \sin (x) - 1$

Passaggio 2

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (x) = {(\sin (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ come $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ .

$\cos^{2} (x) = (\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$

Passaggio 3.2

Espandi $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1)$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1)$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Passaggio 4

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $\sin^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - 2 \sin (x) + 1$

Passaggio 4.2

Somma $2 \sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 1$

Passaggio 4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 5

Semplifica $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.7

Applica l'identità pitagorica.

$- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.8

Sottrai $\sin^{2} (x)$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (x)$ con $u$ .

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $2 u$ da $- 2 u^{2} + 2 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2 u$ da $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 2 u = 0$

Passaggio 6.1.2.2

Scomponi $2 u$ da $2 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

Passaggio 6.1.2.3

Scomponi $2 u$ da $2 u (- u) + 2 u (1)$ .

$2 u (- u + 1) = 0$

Passaggio 6.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 6.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 6.3

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 6.3.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 6.3.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.3.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.4

Imposta $- \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $- \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $- \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 6.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.4.2.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 6.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 6.4.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.4.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.4.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Escludi le soluzioni che non rendono $\cos (x) + 1 = \sin (x)$ vera.

$x = 1.57079632, 3.14159265, 7.85398163, 9.42477796, 14.13716694, 15.70796326, 20.42035224, 21.99114857, 26.70353755, 32.98672286, 39.26990816, 45.55309347$ , per qualsiasi intero $n$