Precalcolo Esempi

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $9$ per $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{3} - 12 \cdot 0.\overline{1} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 12$ per $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 1.\overline{3} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $1.\overline{3}$ da $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 8$ per $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} + 2.\overline{6} - 1$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 1.\overline{6}$ e $2.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1}{3 x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ per $3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$8 x$

$1$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x^{2} - 5 x$

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x - 1$

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} - 5 x - 1$

Passaggio 1.6

Scrivi $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Imposta $3 x^{2} - 5 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $3 x^{2} - 5 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 5$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Somma $25$ e $12$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Forma decimale:

$x = - 0.\overline{3}, 1.84712708 \dots, - 0.18046042 \dots$