Precalcolo Esempi

$9 (9^{x}) - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $9^{x}$ come ${(3^{2})}^{x}$ .

$9 \cdot {(3^{2})}^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${(3^{2})}^{x}$ come ${(3^{x})}^{2}$ .

$9 \cdot {(3^{x})}^{2} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1.3

Sia $u = 3^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $3^{x}$ con $u$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 u$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 1$ più $- 9$ .

$9 u^{2} + (- 1 - 9) u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 u^{2} - 1 u - 9 u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 u^{2} - 1 u) - 9 u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (9 u - 1) - (9 u - 1) = 0$

Passaggio 1.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3^{x}$ .

$(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $9 \cdot 3^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $9 \cdot 3^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $9 \cdot 3^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$3^{2} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3^{2 + x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{2 + x} = 1$

Passaggio 3.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{2 + x}) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.4

Espandi $\ln (3^{2 + x})$ spostando $2 + x$ fuori dal logaritmo.

$(2 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$2 \ln (3) + x \ln (3) = 0$

Passaggio 3.2.7

Riordina $2 \ln (3)$ e $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + 2 \ln (3) = 0$

Passaggio 3.2.8

Sottrai $2 \ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

Passaggio 3.2.9

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.3.1.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$x = - 2$

Passaggio 4

Imposta $3^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $3^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{x} = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Passaggio 4.2.5

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = 0$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.3.1

Dividi $0$ per $\ln (3)$ .

$x = 0$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = - 2, 0$