Precalcolo Esempi

$8 e^{2 x} + 8 e^{x} = 6$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

$8 {(e^{x})}^{2} + 8 e^{x} = 6$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$8 u^{2} + 8 u = 6$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 u^{2} + 8 u - 6 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2$ da $8 u^{2} + 8 u - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2$ da $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) + 8 u - 6 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $2$ da $8 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) - 6 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) + 2 (- 3) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $2$ da $2 (4 u^{2}) + 2 (4 u)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u - 3) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 u$ .

$2 (4 u^{2} + 4 (u) - 3) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $- 2$ più $6$ .

$2 (4 u^{2} + (- 2 + 6) u - 3) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (4 u^{2} - 2 u + 6 u - 3) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((4 u^{2} - 2 u) + 6 u - 3) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (2 u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (2 u + 3)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5

Imposta $2 u + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $2 u + 3$ uguale a $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $2 u + 3 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 3$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 3$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $\frac{1}{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $\frac{1}{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{1}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{3}{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $- \frac{3}{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- \frac{3}{2})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 7.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - \frac{3}{2}$

Nessuna soluzione

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimale:

$x = - 0.69314718 \dots$