Precalcolo Esempi

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{16 y + 4}{y^{2} - 16}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $4$ da $16 y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $4$ da $16 y$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y) + 4}{y^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y) + 4 (1)}{y^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $4$ da $4 (4 y) + 4 (1)$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{y^{2} - 16}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{y^{2} - 4^{2}}$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 4$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$

Passaggio 2.2

Since $y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 1$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $y - 4, y + 4, y - 4$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 2.8

Il fattore di $y - 4$ è $y - 4$ stesso.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il fattore di $y + 4$ è $y + 4$ stesso.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.10

Il fattore di $y - 4$ è $y - 4$ stesso.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo di $y - 4, y + 4, y - 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y - 4) (y + 4)$

Passaggio 2.12

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$y (y - 4) (y + 4)$

Passaggio 3

Moltiplica per $y (y - 4) (y + 4)$ ciascun termine in $\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$ per $y (y - 4) (y + 4)$ .

$\frac{16}{y - 4} (y (y - 4) (y + 4)) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $y - 4$ da $y (y - 4) (y + 4)$ .

$\frac{16}{y - 4} ((y - 4) (y (y + 4))) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{y - 4} ((y - 4) (y (y + 4))) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$16 (y (y + 4)) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 (y \cdot y + y \cdot 4) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $y$ per $y$ .

$16 (y^{2} + y \cdot 4) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$16 (y^{2} + 4 \cdot y) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$16 y^{2} + 16 (4 y) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $4$ per $16$ .

$16 y^{2} + 64 y - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{y}$ nel numeratore.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.7.2

Scomponi $y$ da $y (y - 4) (y + 4)$ .

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y ((y - 4) (y + 4))) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y ((y - 4) (y + 4))) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$16 y^{2} + 64 y - 4 ((y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.8

Espandi $(y - 4) (y + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y (y + 4) - 4 (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + y \cdot 4 - 4 (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + y \cdot 4 - 4 y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.9

Combina i termini opposti in $y \cdot y + y \cdot 4 - 4 y - 4 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Riordina i fattori nei termini di $y \cdot 4$ e $- 4 y$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + 4 y - 4 y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.9.2

Sottrai $4 y$ da $4 y$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + 0 - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.9.3

Somma $y \cdot y$ e $0$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.10.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y^{2} - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.10.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y^{2} - 16) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.11

Applica la proprietà distributiva.

$16 y^{2} + 64 y - 4 y^{2} - 4 \cdot - 16 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.1.12

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 y^{2} + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $4 y^{2}$ da $16 y^{2}$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(y - 4) (y + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(y - 4) (y + 4)$ da $(y + 4) (y - 4)$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) (1)} (y (y - 4) (y + 4))$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $(y - 4) (y + 4)$ da $y (y - 4) (y + 4)$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) (1)} ((y - 4) (y + 4) (y))$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) \cdot 1} ((y - 4) (y + 4) y)$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 4 (4 y + 1) y$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (4 (4 y) + 4 \cdot 1) y$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (16 y + 4 \cdot 1) y$

Passaggio 3.3.3.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (16 y + 4) y$

Passaggio 3.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 y \cdot y + 4 y$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Sposta $y$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 (y \cdot y) + 4 y$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 y^{2} + 4 y$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $16 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 y^{2} + 64 y + 64 - 16 y^{2} = 4 y$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 y^{2} + 64 y + 64 - 16 y^{2} - 4 y = 0$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $16 y^{2}$ da $12 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 64 y + 64 - 4 y = 0$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $4 y$ da $64 y$ .

$- 4 y^{2} + 60 y + 64 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 y^{2} + 60 y + 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 60 y + 64 = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi $- 4$ da $60 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- 15 y) + 64 = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi $- 4$ da $64$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- 15 y) - 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Scomponi $- 4$ da $- 4 (y^{2}) - 4 (- 15 y)$ .

$- 4 (y^{2} - 15 y) - 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Scomponi $- 4$ da $- 4 (y^{2} - 15 y) - 4 (- 16)$ .

$- 4 (y^{2} - 15 y - 16) = 0$

Passaggio 4.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $y^{2} - 15 y - 16$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 16$ e la cui somma è $- 15$ .

$- 16, 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 4 ((y - 16) (y + 1)) = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 (y - 16) (y + 1) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 16 = 0$

$y + 1 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $y - 16$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $y - 16$ uguale a $0$ .

$y - 16 = 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 16$

Passaggio 4.5

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ .

$y + 1 = 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 1$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 (y - 16) (y + 1) = 0$ vera.

$y = 16, - 1$