Precalcolo Esempi

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Passaggio 4.2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Passaggio 4.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 4.4.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u + \frac{1}{u} = 2 y$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica ogni termine in $u + \frac{1}{u} = 2 y$ per $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Passaggio 4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Passaggio 4.4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Passaggio 4.4.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Passaggio 4.4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Sottrai $2 y u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Passaggio 4.4.3.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4.3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2 y$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1.1

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot 1$ come ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 2 y$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3.1.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.4

Scomponi $2$ da $- 2 y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.6

Riscrivi $4 (- y + 1) (- y - 1)$ come $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.4.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.6.3

Aggiungi le parentesi.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Passaggio 4.4.3.4.3

Semplifica $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Passaggio 4.4.3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Passaggio 4.5

Sostituisci $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Passaggio 4.6

Risolvi $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Passaggio 4.6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Passaggio 4.6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.6.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 4.6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.7

Sostituisci $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Passaggio 4.8

Risolvi $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Passaggio 4.8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.8.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.8.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.8.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Passaggio 4.9

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$