Precalcolo Esempi

${(y^{2} + 4 y)}^{2} + 7 (y^{2} + 4 y) + 12 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = y^{2} + 4 y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{2} + 4 y$ con $u$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} + 7 u + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $7$ .

$3, 4$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2} + 4 y$ .

$(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Passaggio 3

Imposta $y^{2} + 4 y + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $y^{2} + 4 y + 3$ uguale a $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ per $y$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $y^{2} + 4 y + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y + 1) (y + 3) = 0$

Passaggio 3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ .

$y + 1 = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 1$

Passaggio 3.2.4

Imposta $y + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Imposta $y + 3$ uguale a $0$ .

$y + 3 = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 3$

Passaggio 3.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y + 1) (y + 3) = 0$ vera.

$y = - 1, - 3$

Passaggio 4

Imposta $y^{2} + 4 y + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $y^{2} + 4 y + 4$ uguale a $0$ .

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ per $y$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y^{2} + 4 y + 2^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi il polinomio.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 2$ .

${(y + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Poni $y + 2$ uguale a $0$ .

$y + 2 = 0$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ vera.

$y = - 1, - 3, - 2$