Precalcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$ è indefinita.

$x = 3$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 5.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 3}$

Passaggio 5.2

Espandi $(x - 1) (x + 3)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3)}{x - 3}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)}{x - 3}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.4

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 1 x - 3}{x - 3}$

Passaggio 5.2.10

Sottrai $1 x$ da $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 3 x$

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$
					+	$5 x$	-	$15$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x - 15$

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$
					-	$5 x$	+	$15$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$
					-	$5 x$	+	$15$
							+	$12$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 5 + \frac{12}{x - 3}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 5$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 3$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 5$

Passaggio 7