Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 8 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 2.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = 0$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 4$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 0$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 4$ (Molteplicità di $2$ )

Passaggio 3