Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} + 6 x^{2} - 27$ uguale a $0$ .

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2.2

Scomponi $u^{2} + 6 u - 27$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 27$ e la cui somma è $6$ .

$- 3, 9$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u + 9) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $u + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $u + 9$ uguale a $0$ .

$u + 9 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 9$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 3) (u + 9) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$u = 3$ (Molteplicità di $1$ )

$u = - 9$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 2.7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Passaggio 2.8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.9.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.9.2.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.9.2.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.9.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.9.3

La molteplicità di una radice corrisponde al numero di volte in cui la radice compare. Ad esempio, un fattore di ${(x + 5)}^{3}$ avrà una radice di $x = - 5$ con molteplicità pari a $3$ .

$x = \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 2.10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Passaggio 2.11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 2.11.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Passaggio 2.11.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 2.11.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.11.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.11.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.11.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 2.11.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 2.11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 2.11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 2.11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 2.11.5

La molteplicità di una radice corrisponde al numero di volte in cui la radice compare. Ad esempio, un fattore di ${(x + 5)}^{3}$ avrà una radice di $x = - 5$ con molteplicità pari a $3$ .

$x = 3 i$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 3 i$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 3 i$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 3 i$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 2.12

La soluzione di $x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ è $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

Passaggio 3