Precalcolo Esempi

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$

Passaggio 1

Imposta $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$ uguale a $0$ .

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 3 x - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$- (3 x) - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- (3 x) - 1 \cdot 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (1)$ .

$- (3 x + 1) + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $9 x^{5}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 21 x^{4}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi $x^{2}$ da $10 x^{3}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.4

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Passaggio 2.1.3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2})$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Passaggio 2.1.3.6

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x)$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Passaggio 2.1.3.7

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 2.1.4.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 0.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 3$

Passaggio 2.1.4.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.3

Moltiplica $9$ per $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.5

Moltiplica $- 21$ per $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.6

Sottrai $2.\overline{3}$ da $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.7

Moltiplica $10$ per $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} - 3.\overline{3} + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.8

Sottrai $3.\overline{3}$ da $- 2.\overline{6}$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 2.1.4.1.3.9

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 2.1.4.1.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6}{3 x + 1}$

Passaggio 2.1.4.1.5

Dividi $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ per $3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$10 x$

$6$

Passaggio 2.1.4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Passaggio 2.1.4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Passaggio 2.1.4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 24 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Passaggio 2.1.4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 2.1.4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 24 x^{2} - 8 x$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 2.1.4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$

Passaggio 2.1.4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 x + 6$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 2.1.4.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} - 8 x + 6$

Passaggio 2.1.4.1.6

Scrivi $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ come insieme di fattori.

$- (3 x + 1) + x^{2} ((3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $3 x + 1$ da $- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Scomponi $3 x + 1$ da $- (3 x + 1)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Scomponi $3 x + 1$ da $x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $3 x + 1$ da $(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6))$ .

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Passaggio 2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Passaggio 2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 6) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2 + 2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.9

Riordina i termini.

$(3 x + 1) (3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Riscrivi $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1

Scomponi $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2.1.10.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Passaggio 2.1.10.1.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$0.\overline{037} - 8 \cdot - 0.\overline{037} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.5

Moltiplica $- 8$ per $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} + 0.\overline{296} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.6

Somma $0.\overline{037}$ e $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.7

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$0.\overline{3} + 6 \cdot 0.\overline{1} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.8

Moltiplica $6$ per $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.9

Somma $0.\overline{3}$ e $0.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.3.10

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 2.1.10.1.1.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1}{3 x + 1}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5

Dividi $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ per $3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{2} + 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x - 1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$0$

Passaggio 2.1.10.1.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Passaggio 2.1.10.1.1.6

Scrivi $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.2

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.7

Somma $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.3.8

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 2.1.10.1.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Passaggio 2.1.10.1.2.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 2.1.10.1.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 2.1.10.1.2.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.1.10.1.3.3

Riscrivi il polinomio.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.4

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.4.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.1.11

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Eleva $3 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Eleva $3 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.1.11.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(3 x + 1)}^{1 + 1} {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.1.11.4

Somma $1$ e $1$ .

${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(3 x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta ${(3 x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(3 x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Poni $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - \frac{1}{3}$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 1$ (Molteplicità di $3$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 1$ (Molteplicità di $3$ )

Passaggio 3