Precalcolo Esempi

$f (x) = 7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$

Passaggio 1

Imposta $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ uguale a $0$ .

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{714285}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{714285}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{714285}$ nel polinomio.

$7 {(- 0.\overline{714285})}^{3} + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{714285}$ alla potenza di $3$ .

$7 \cdot - 0.36443148 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $7$ per $- 0.36443148$ .

$- 2.5510204 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Passaggio 2.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{714285}$ alla potenza di $2$ .

$- 2.5510204 + 12 \cdot 0.51020408 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $12$ per $0.51020408$ .

$- 2.5510204 + 6.12244897 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Passaggio 2.1.3.6

Somma $- 2.5510204$ e $6.12244897$ .

$3.\overline{571428} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 0.\overline{714285}$ .

$3.\overline{571428} + 1.\overline{428571} - 5$

Passaggio 2.1.3.8

Somma $3.\overline{571428}$ e $1.\overline{428571}$ .

$5 - 5$

Passaggio 2.1.3.9

Sottrai $5$ da $5$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 0.\overline{714285}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $7 x + 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5}{7 x + 5}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ per $7 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$7 x$

$5$

$7 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x$

$5$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{2} + 5 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							-	$7 x$	-	$5$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x - 5$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x - 1$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ come insieme di fattori.

$(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 x + 5 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $7 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $7 x + 5$ uguale a $0$ .

$7 x + 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $7 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = - 5$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 5$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{7}$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} + x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} + x - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} + x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.4.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.5.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.4.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - \frac{5}{7}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{5}{7}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 3