Precalcolo Esempi

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Passaggio 1

Imposta $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ uguale a $0$ .

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $7 x$ da $7 x^{3} - 28 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $7 x$ da $7 x^{3}$ .

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $7 x$ da $- 28 x$ .

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $7 x$ da $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ .

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Passaggio 2.1.7.1.2

Riscrivi $- 10$ come $2$ più $- 12$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

Passaggio 2.1.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Passaggio 2.1.7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 2.1.11.3

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 2.1.12

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Riordina i termini.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.2.1

Scomponi $7$ da $7 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13.2.2

Riscrivi $7$ come $1$ più $6$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13.2.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

Passaggio 2.1.13.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.13.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.14

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.15

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.15.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.15.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - 2$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 2$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 2$ (Molteplicità di $2$ )

$x = 2$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 3