Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 25$

$b = 15$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{625 - {(15)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{625 - 1 \cdot 225}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $225$ .

$\sqrt{625 - 225}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $225$ da $625$ .

$\sqrt{400}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$\sqrt{20^{2}}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$20$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 25)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 25)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (25))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 25)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 20)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, 20)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (20))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - 20)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}}{25}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 15^{2}}}{25}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 1 \cdot 225}}{25}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $225$ .

$\frac{\sqrt{625 - 225}}{25}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $225$ da $625$ .

$\frac{\sqrt{400}}{25}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$\frac{\sqrt{20^{2}}}{25}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{20}{25}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $20$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$\frac{5 (4)}{25}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

Eccentricità: $\frac{4}{5}$

Passaggio 10