Precalcolo Esempi

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $3 (1 - \cos (- θ))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $\cos (- θ)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- θ)$ come $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

Passaggio 2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

Passaggio 2.2

Somma $3 \cos (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $2 \sin^{2} (θ)$ con $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Passaggio 5

Sottrai $3$ da $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

Passaggio 6

Riordina il polinomio.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 7

Sostituisci $\cos (θ)$ per $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $- 1$ da $3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 8.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 u$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1$ più $- 2$ .

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 13

Sostituisci $u$ per $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 14

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

Passaggio 15

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 15.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 15.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 15.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 15.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 15.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 15.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 15.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (1)$

Passaggio 16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 16.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - 0$

Passaggio 16.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$θ = 2 π$

Passaggio 16.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 16.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 16.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 17

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 18

Combina $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ in $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$